Né le 12 juillet 1876 à Tassin-La-Demi-Lune dans le Rhône, Joseph Bissuel se voue, comme son père Prosper Édouard Bissuel, à l’architecture. Il suit des cours à l’École nationale des Beaux-Arts de Lyon, puis gagne la capitale assez rapidement. Élève à l’atelier préparatoire de Jules Godefroy et Eugène Freynet, puis élève de Jean-Louis Pascal, c’est dans l’atelier de ce dernier qu’il suit son apprentissage aux côtés d’Henri Joulie. Il est diplômé par le gouvernement en 1903.
Ses études terminées, Joseph Bissuel rentre dans la région lyonnaise et parcourt les chantiers sous la conduite de son père, avant de lui succéder. En 1910, il s’associe d’abord avec Joseph Chantre, puis il fait appel à son ami Henri Joulie. Leur collaboration durera plus de 20 ans.